1. 운동 방정식 - 5. 입자들로 구성된 계의 라그랑지안

5. 입자들로 구성된 계의 라그랑지안

이번에는 자유입자가 아니라 여러개의 입자가 한 계에서 서로 상호작용하는 상황을 생각해보겠습니다. 계의 다른 입자와는 전혀 상호작용하지 않는다고 생각합니다. 이러한 계를 닫힌 계(Closed system)이라고 부릅니다. 이러한 경우 이 계의 라그랑지안은 1. 운동 방정식 - 4. 자유입자의 라그랑지안에서 찾은 라그랑지안에다가 각 입자의 좌표와 상호작용의 특징에 의존하는 어떠한 함수 -U를 더함으로써 나타내고 다음과 같이 나타냅니다. 

물론 여기에서 r은 각 입자의 위치 벡터입니다. 이것이 닫힌 계의 가장 일반적인 라그랑지안의 형태라고 할 수 있겠습니다. 첫 번째항은 다들 알듯이, 운동에너지 (Kinetic energy)라고 불리고, 두번째항 U는 포텐셜 에너지 (Potential  energy)라고 부릅니다. 

포텐셜 에너지 U는 오직 위치의 함수입니다. 이러한 함수의 형태가 암시하는 사실은 어떠한 입자가 다른 위치로 움직이면 다른 입자들이 즉시 영향을 받는다는 것입니다. 즉 서로간의 상호작용 속도가 무한대이고 상호작용의 시간이 전혀 걸리지 않는다는 사실을 의미합니다. 상대론에 반하는 이러한 내용은 시간의 절대성이라는 고전역학의 특성과 밀접한 관련이 있습니다.

또 다른 흥미로운 특성으로  라그랑지안은 시간을 반대로 돌리더라도, 즉 t를 -t로 바꾸더라도 그 형태가 전혀 변하지 않습니다. 속도가 시간에 대해서 1차미분인데 이것이 제곱으로 되어있으므로 그렇습니다. 포텐셜 또한 시간에 대한 양함수가 아니므로 그 영향을 받지 않습니다. 따라서 만약에 시간이 흐르면서 관측되는 운동이나 그 시간을 반대로 돌렸을 때 반대 방향으로 관측되는 운동, 두 운동 모두 가능하다는 말이 됩니다. (그런데 왜 유리는 깨지기만 하고 붙지는 않는걸까요?) 따라서 고전 역학에서 모든 운동은 가역운동(reversible)입니다. 

1. 운동 방정식 - 2. 최소작용의 원리 1에서 찾는 운동방정식

을 통하여서 다음과 같은 뉴턴의 제 2법칙과 동일한 운동방정식을 찾을 수 있습니다. 

따라서 뉴턴의 운동방정식과 라그랑지안의 운동방정식은 완전히 동일한 그렇지만 다른형태의 운동방정식이라고 할 수 있습니다. 오른쪽에 나타난 포텐셜을 위치 벡터에 대해서 미분한 양을 우리는 힘(Force)라고 부릅니다. 

따라서, 힘도 오직 위치에 대한 함수입니다. 또한 가속도도 따라서 오직 위치의 함수임을 알 수 있습니다. 

다음과 같은 가장 일반적인 좌표 q를 사용하게 되면 다음과 같은 변환이 필요합니다. 여기서 예시로 직교좌표계에서 일반좌표계 사이의 변환을 나타냈습니다. 

이런 변환을 직교좌표계로 나타낸 라그랑지안  

에 넣고 일반 좌표 q에 대해서 적으면, 다음과 같은 라그랑지안을 얻을 수 있습니다. 

여기서 a는 오직 좌표만의 함수입니다. 주목해야할 사실은 일반좌표계에서도 운동에너지는 속도 제곱의 함수이지만, 값이 위치에 따라 달라질 수 있습니다.