1. 운동 방정식 - 4. 자유입자의 라그랑지안

4. 자유입자의 라그랑지안

그럼 자유롭게 운동하는 자유입자(free particle)의 라그랑지안 형태를 결정해보도록 하겠습니다. 여기서 자유롭게 운동한다는 뜻은 관성 좌표계에서 등속운동을 한다는 뜻입니다. 3. 갈릴레오의 상대성 원리에서 보았듯이, 자유입자의 라그랑지안은 v^2의 함수임을 알 수 있습니다. 

위와 같이 두 개의 관성 좌표계, K와 K'에 대해서 생각해보겠습니다. K는 K'에 대해서 속도 e로 움직이고 있다고 가정합시다. 따라서 K에서 속도 v로 움직이는 물체는 K'에서는 v+e로 보임을 알 수 있습니다. 따라서 K에서와 K'에서의 라그랑지안은 다음과 같은 관계가 있습니다. 

만약에 e가 충분히 작다면, e에 대해서 L'을 확장전개 할 수 있고, e에 선형적으로 비례하는 첫번째 항까지만 남겨두면,

2. 최소작용의 원리 2에서 살펴보았듯이 이 두 라그랑지안 L와 L'은 동일한 운동 방정식을 줘야되고, 동일한 방정식을 주기 위해서는 두 라그랑지안의 차이는 입자의 위치와 시간의 함수의 시간에 대한 전미분 함수임가 되어야 합니다. 이러한 조건을 만족시키기 위해서는 위의 식 오른쪽 두번째 항은 속도의 선형적으로 비례하는 함수여야 합니다. 따라서 

이 속도의 함수가 아니어야 됨을 알 수 있습니다. 따라서 라그랑지안은 v^2함수이고 v^2에 대하여 미분이 속도의 함수가 아니어야 되므로 다음과 같이 적을 수 있겠습니다.

이 라그랑지안의 형태가 갈릴레오의 변환에 대해서 불변인지 보도록 하겠습니다. 한 자유입자를 서로에 대해서 속도 V로 움직이는 두 관성 좌표계에 대해서 라그랑지안을 적어보면, 

조금 머리를 써서 바꿔 적으면,

두번째 항은 입자의 위치 r과 시간 t에 대한 함수이고 시간에 대한 전미분으로 나타낼 수 있으므로 L'와 L은 서로 같은 운동 방정식을 준다는 사실을 알 수 있습니다. 대문자 V 는 좌표계의 움직이지 운동하는 물체의 속도가 아닙니다. 

눈치를 채셨겠지만, 자유입자의 라그랑지안은 바로 물체의 운동에너지와 같습니다. 따라서 m은 그 물체의 질량입니다. 서로 상호작용하지 않는 입자의 라그랑지안을 모두 더하면 전체 시스템의 라그랑지안이 되므로 다음과 같이 적을 수 있습니다 (참고). 

여기서 중요한 사실은 이 라그랑지안에다가 어떠한 숫자를 곱해도 여전히 동일한 운동방정식을 준다는 사실입니다(참고).  따라서 절대값으로의 질량보다는 각 다른 질량들(m1, m2, m3..)의 상대적 비율(m1/m2, m2/m3..)이 오히려 물리적으로 더 중요하다는 사실을 알 수 있습니다. 

질량의 또 다른 특성으로, 질량은 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 작용 S

 

가 최솟값이 되는 지점이 실제로 관측되는 경로인데 (참조) m이 음수라면 시작점 1과 도착점 2를 잇는 수 많은 경로에 대해서 작용 값이 계속에서 작은 값을 가질 수 있으므로 최솟값이 존재하지 않게 됩니다.  

요약
자유입자의 라그랑지안은 운동에너지와 그 형태가 같다.
서로 다른 관성 좌표계는 동일한 운동 방정식을 가진다.