1. 운동 방정식 - 2. 최소작용의 원리 1

2. 최소작용의 원리

모든 역학에서의 운동은 최소작용의 원리(The principle of least action) 또는 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)을 따르게 됩니다. 이러한 원리의 핵심적인 내용은 한 운동하는 물체의 경로는 반드시 어떠한 양을 최소화로 하는 경로로만 움직인다는 것입니다. 여기서 최소화가 되는 양을 우리는 작용(action)이라 하며 따라서 이 원리를 최소작용을 원리라고 부르는 것입니다. 

예를 들어 우리가 관심있는 역학시스템을 L이라는 양으로 나타낼 수 있다고 합시다. 앞의 글에서 밝혔듯이, 한 역학시스템을 완전하게 기술하기 위해서는 위치와 속도가 필요합니다. 따라서 여기서 L은 위치와 속도와 시간의 함수입니다. 즉 L = L(q1, q2, ..., qs, dq1/dt, dq2/dt, ..., dqs/dt, t). 간단히 L = L(q, dq/dt, t)라고도 나타냅니다. 그럼 작용은 

로 정의됩니다. 그리고 L을 우리는 라그랑지안(Lagrangian)이라고 합니다. 

그럼 어떠한 경로, 즉 어떤 q(t)가 S를 최소화하는지 알아보도록 하겠습니다. 

우선 먼저 q(t)가 S를 최소화 시키는 경로라고 가정합시다.  이 말은 바꾸어 말해서 이 경로에서 조금이라도 벗어나면 S의 값이 커진다는 뜻이 됩니다. 따라서 S가 최소가 되는 경로는 그 경로에서 아주 미세하게 벗어날 때 S의 변화량이 0이 되어야 합니다. 다시 수학적으로 말하면 

에 대해서 (이러한 변화를 variation이라고 합니다).

이 0이 되어야합니다. 즉 종합해서 적으면,

와 같이 나타낼 수 있습니다. 

이므로, 

여기에서 첫번째 항은 t1과 t2에서 L의 변화량을 나타냄을 알 수 있습니다. 그런데 우리는 시작점 (t = t1)과 마지막 점 (t = t2)이 고정되어 있는 운동에만 관심 있으므로 첫 번째항은 0이 됨을 알 수 있습니다. 가만히 생각해보면 시작점과 마지막점이 고정되어있지 않은 운동에서 작용의 최솟값을 말하는것은 말이 되지 않습니다. 따라서 우리가 찾은 경로가 만족시켜야할 방정식은 다음과 같습니다. 

만약에 자유도가 1이 아니라 s 의 경우에는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 

 이러한 미분방정식을 라그랑지 방정식(Lagrange's equations)이라고 합니다. 따라서 일단 라그랑지 L만 알아낸다면, 라그랑지 방정식들이 가속도, 속도, 그리고 위치에 대한 관계를 주게 됩니다. 따라서 라그랑지 방정식이 우리가 찾던 운동 방정식인것입니다.  i 는 1 부터 s 까지이므로, 총 s개의 라그랑지 미분 방정식이 있고, 이 라그랑지 미분방정식의 해가 바로 실제로 우리가 관측하게 될 운동경로 qi(t) 입니다.  따라서 위의 방정식을 풀기위해서는 총 2s개의 주어진 값이 있어야 됩니다. 

요약
1. 라그랑지 방정식 = 운동 방정식.