1. 전도체의 정전기학 - 1. 전도체의 정전기장 2

1. 전도체의 정전기장 2

전도체에서 많이 떨어진 공간, 즉 진공에서는 공간에 대하여 평균한 전기장이나, 일반적인 맥스웰 방정식이 나타내는 전기장은 동일합니다. 이 두 값이 차이가 나는곳은 전도체에서 아주 가까운 공간입니다. 따라서 진공에서는 맥스웰 방정식의 두 가지 법칙인

도 역시 동일하게 다음과 같이 성립하게 됩니다. 차이점이라면, 오직 정전기학을 다루고 있으므로, 자기장인 h = 0이 되겠습니다. 

어떤 벡터함수의 컬(Curl)이 0이라는 것은 그 벡터함수는 어떤 스칼라 함수의 기울기로 표현할 수 있다는 말이 되므로 다음과 같이 적을 수 있습니다.

따라서 전기장은 다음과 같은 라플라스 방정식 (Laplace's equation)을 만족합니다.

여기서 파이는 전기적 포텐셜(electric potential)이라고 부릅니다 .

 또한 전기장의 컬이 0이 라는 말은 전도체 내부의 전기장 중 표면에 평행한 성분(tangential component)은 전도체 외부의 전기장 중 표면에 평행한 성분과 크기가 같고 반향이 반대라는 말이 됩니다. 따라서 전도체 내부에서 전기장이 0이라고 하였으므로 전도체 외부의 전기장 중 표면에 평행한 성분의 크기 또한 0이 됩니다. 따라서 전도체의 외부 표면에 생성되는 전기장은 항상 표면과 수직임을 알 수 있습니다. 

전도체 외부 표면에 수직하게 생성되는 전기장은 그 표면의 전하의 밀도와 깊은 관련이 있습니다. 우선 일반적인 맥스웰 방정식에 의해서, 

이 되고, 공간에 대해서 평균을 하게 되면 다음과 같은 식을 얻게 됩니다.

(식 1)

위 방정식의 물리적 의미는 다음과 같습니다. '임의의 닫힌 표면을 통과하는 전기적 선속(the flux of electric field)은 그 닫힌 표면에 내부에 있는 모든 전하의 합에 비례한다'.

위의 그림을 통하여서 어떻게 전기장의 발산이 전하밀도와 관련있는지 살펴보도록 하겠습니다. 그림에서 보이듯이 전도체 내부에서는 전기장이 0이고 외부에서는 전기장이 0이 아닌 어떠한 값(E1)입니다.  임의의 박스를 전도체 표면을 감싸도록 위 그림과 같이 설정하면, 박스 내부 전도체 표면(점선으로 둘러싸여진 부분)의 전하밀도 (sigma)와 전기장, 그리고 전기적 포텐셜은 다음과 같은 관계를 가지게 됩니다.

포텐셜의 미분방향은 그림에서 나타내었듯이 내부에서 외부로 가는 방향입니다. 위의 식을 박스의 넓이 f에 대해서 적분을 하게 되면 다음과 같은 식을 얻습니다. 

마지막으로 포텐셜의 다음과 같은 중요한 특성에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. '포텐셜은  전기장이 존재하는 경계에서만 최솟값 또는 최댓값을 가진다'. 따라서 경계가 아닌 포텐셜이 존재하는 임의의 공간에 테스트 전하 e를 놔두면 e는 포텐셜의 최솟값에 대해당하는 안정된 위치가 없으므로 무조건 어떠한 방향으로 움직이게 됩니다. 

요약
1. 전도체 외부와 내부에서 라플라스 방정식이 성립한다.
2. 전기장과 전하밀도, 그리고 포텐셜이 서로 긴밀하게 연결되어 있다.
3. 포텐셜은 전도체 외부와 내부에서 최댓값이나 최솟값을 가지지 않는다.