2. 보존 법칙들 - 7. 운동량

7. 운동량 (Momentum)

두 번째 보존량은 공간의 균일성으로부터 유도할 수 있습니다. 이러한 공간의 균질성의 결과로 닫힌계에서 라그랑지안은 공간에 따라 변하지 않습니다. 즉 어느 공간을 가든 라그랑지안은 똑같은 형태를 지닌다고 할 수 있습니다. 따라서 특정한 방향으로 e 만큼 이동한 뒤의 라그랑지안의 변화량을 다음과 같이 적어보도록 하겠습니다. 

라그랑지안은 임의의 공간적 변화에 대해서 변화가 없어야 함으로  

운동방정식으로 부터 다음과 같이 적을 수 있습니다. 

여기서 다음의 항 

은 시간에 대해서 변화가 없음을 알 수 있습니다. 이 양을 바로 이 계의 운동량 (Momentum)이라고 부릅니다.  이 때의 라그랑지안은 운동에너지와 같기 때문에,

와 같이 적을 수 있습니다. 

이러한 방정식에서 우리는 계의 전체 운동량은 각 입자의 운동량과 합과 같다고 할 수 있습니다.

만약에 외부의 힘이 없다면 이 운동량은 항상 보존됩니다. 그리고 외부의 힘이 있더라도, 외부의 힘이 공간에 대한 의존성이 없다면, 운동량은 항상 보존됩니다. 그리고 포텐셜이 공간에 대해서 어떻게 의존하느냐에 따라서 특정한 방향의 운동량은 보존될 수 있습니다. 그리고 힘은 포텐셜 에너지의 공간에 대한 미분이라는 사실을 기억하면,

따라서 운동량이 보존되는 계에서는 계 내부의 모든 힘의 합은 항상 0이 됩니다 (뉴턴의 제 3법칙).

지금까지는 직교좌표계에서 생각을 하였지만, 일반 좌표계로 다음과 같이 쉽게 확장할 수 있습니다.  먼저 일반화된 운동량으로

다음은 일반화된 힘으로

와 같이 적을 수 있습니다. 운동방정식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

요약

1. 공간의 균질성의 결과는 운동량 보존법칙이다. 

 

 

 

 

 

2. 보존 법칙들 - 6. 에너지

2. 보존 법칙들

6. 에너지

2s개의 변수 qi, dqi/dt 가 시스템이 시간에 대해서 어떻게 운동하는지 결정합니다. 어떠한 함수중에서 위의 2s개의 변수의 함수이지만 시간에 따라 그 값이 변하지 않고 처음값을 계속 유지하는 값이 있는데 이러한 함수를 운동 상수(integrals of motion)라고 부릅니다. 보통은 s 개의 자유도가 있는 닫힌 계에서는 2s-1개의 운동상수가 존재하게 됩니다.

그렇지만 2s-1개의 모든 운동상수가 역학에서 중요한것은 아닙니다. 몇몇의 운동상수를 시간과 공간의 균일성(homogeneity)과 등방성(isotropy)에 의한 결과로 꽤 심오한 의미들을 가지게 됩니다. 이러한 운동상수에 해당하는 값들을 우리는 보존된다라고 말합니다. 이러한 운동상수는 합의 법칙을 만족하는데, 이 말은 시스템의 각각의 운동상수의 합은 전체 시스템의 운동상수와 같다는 말입니다. 이러한 합의 법칙은 꽤나 중요합니다. 예를 들면 서로 상호작용하는 두개의 물체에 대해서 생각해봅시다. 만약 에너지가 운동상수라고 한다면 한 쪽 물체의 에너지가 줄어들었다면 이 줄어든 에너지가 다른 물체로 이동했다는 사실을 합의 법칙을 통해서 바로 추론할 수 있습니다. 

우선 시간의 균일성이 어떠한 운동상수를 이끌어 내는지 살펴봅시다.  시간이 균일하다는 말은 라그랑지안이 시간에 직접적으로 의존하지 않는다는 말이 됩니다. 따라서 라그랑지안을 시간에 대해서 전미분하면, 

같이 적을 수 있습니다. 시간에 대해서 직접적으로 의존하지 않으므로 시간에 대한 편미분항은 없습니다. 조금만 바꿔서 적으면 다음과 같이 적을수 있습니다.

                                   

따라서

입니다. 따라서 여기서 시간에 대한 전미분을 취하는 괄호안의 양은 시간에 대해서 변화가 없음을 알 수 있고 따라서 운동상수입니다. 괄호안의 양을 다음과 같이 E로 정의합시다.

눈치 채셨듯이,  여기서 E는 바로 에너지입니다. 

이러한 보존의 법칙은 닫힌계에서만 적용되지 않고 외부의 힘이 시간에 대해서 변하지 않는다면 역시 성립합니다.  어떠한 경우에서든, 라그랑지안이 시간에 직접적으로 의존하지 않는다면 에너지는 항상 운동상수입니다. 이렇게 에너지가 보존되는 시스템을 보존계라고 부릅니다. 

5. 입자들로 구성된 계의 라그랑지안에서 봤듯이, 라그랑지안은 보통 운동에너지 T에서 포텐셜 에너지 U 를 뺀 형태로 적을 수 있습니다. 여기서 운동에너지는 속도에 대해서 제곱의 함수이므로

으로 나타낼 수 있습니다. 이것을 에너지 표현에 넣으면 에너지는 다음과 같이 적을 수 있습니다. 

예를 들어 직교좌표에서는 다음과 같이 적을 수 있습니다. 

따라서 에너지는 두 가지의 항으로 구성되는데, 하나는 속도에만 의존하는 운동에너지항, 두번째는 위치에만 의존하는 포텐셜 에너지 입니다 .

요약
1. 시간의 균질성의 결과는 에너지 보존이다.
2. 보존계의 에너지는 운동에너지와 포텐셜 에너지의 합으로 구성되고, 그 양은 운동상수이므로 시간에 대해서 변하지 않는다.

1. 운동 방정식 - 5. 입자들로 구성된 계의 라그랑지안

5. 입자들로 구성된 계의 라그랑지안

이번에는 자유입자가 아니라 여러개의 입자가 한 계에서 서로 상호작용하는 상황을 생각해보겠습니다. 계의 다른 입자와는 전혀 상호작용하지 않는다고 생각합니다. 이러한 계를 닫힌 계(Closed system)이라고 부릅니다. 이러한 경우 이 계의 라그랑지안은 1. 운동 방정식 - 4. 자유입자의 라그랑지안에서 찾은 라그랑지안에다가 각 입자의 좌표와 상호작용의 특징에 의존하는 어떠한 함수 -U를 더함으로써 나타내고 다음과 같이 나타냅니다. 

물론 여기에서 r은 각 입자의 위치 벡터입니다. 이것이 닫힌 계의 가장 일반적인 라그랑지안의 형태라고 할 수 있겠습니다. 첫 번째항은 다들 알듯이, 운동에너지 (Kinetic energy)라고 불리고, 두번째항 U는 포텐셜 에너지 (Potential  energy)라고 부릅니다. 

포텐셜 에너지 U는 오직 위치의 함수입니다. 이러한 함수의 형태가 암시하는 사실은 어떠한 입자가 다른 위치로 움직이면 다른 입자들이 즉시 영향을 받는다는 것입니다. 즉 서로간의 상호작용 속도가 무한대이고 상호작용의 시간이 전혀 걸리지 않는다는 사실을 의미합니다. 상대론에 반하는 이러한 내용은 시간의 절대성이라는 고전역학의 특성과 밀접한 관련이 있습니다.

또 다른 흥미로운 특성으로  라그랑지안은 시간을 반대로 돌리더라도, 즉 t를 -t로 바꾸더라도 그 형태가 전혀 변하지 않습니다. 속도가 시간에 대해서 1차미분인데 이것이 제곱으로 되어있으므로 그렇습니다. 포텐셜 또한 시간에 대한 양함수가 아니므로 그 영향을 받지 않습니다. 따라서 만약에 시간이 흐르면서 관측되는 운동이나 그 시간을 반대로 돌렸을 때 반대 방향으로 관측되는 운동, 두 운동 모두 가능하다는 말이 됩니다. (그런데 왜 유리는 깨지기만 하고 붙지는 않는걸까요?) 따라서 고전 역학에서 모든 운동은 가역운동(reversible)입니다. 

1. 운동 방정식 - 2. 최소작용의 원리 1에서 찾는 운동방정식

을 통하여서 다음과 같은 뉴턴의 제 2법칙과 동일한 운동방정식을 찾을 수 있습니다. 

따라서 뉴턴의 운동방정식과 라그랑지안의 운동방정식은 완전히 동일한 그렇지만 다른형태의 운동방정식이라고 할 수 있습니다. 오른쪽에 나타난 포텐셜을 위치 벡터에 대해서 미분한 양을 우리는 힘(Force)라고 부릅니다. 

따라서, 힘도 오직 위치에 대한 함수입니다. 또한 가속도도 따라서 오직 위치의 함수임을 알 수 있습니다. 

다음과 같은 가장 일반적인 좌표 q를 사용하게 되면 다음과 같은 변환이 필요합니다. 여기서 예시로 직교좌표계에서 일반좌표계 사이의 변환을 나타냈습니다. 

이런 변환을 직교좌표계로 나타낸 라그랑지안  

에 넣고 일반 좌표 q에 대해서 적으면, 다음과 같은 라그랑지안을 얻을 수 있습니다. 

여기서 a는 오직 좌표만의 함수입니다. 주목해야할 사실은 일반좌표계에서도 운동에너지는 속도 제곱의 함수이지만, 값이 위치에 따라 달라질 수 있습니다. 

1. 전도체의 정전기학 - 2. 전도체 정전기장의 에너지 2

2. 전도체 정전기장의 에너지

전하와 포텐셜과는 모종의 관계가 있습니다. 만약 둘 사이의 관계를 선형적 관계라고 생각하면, 가장 일반적으로 다음과 같이 적을 수 있습니다. 

여기서 Cab는 길이의 차원을 가집니다. 이 값은 전도체의 모양과 전도체 사이의 거리에 의존하는 값을 가지게 됩니다. 만약 a = b 인 경우에 대해서, Caa는 커페시티 상수 (coefficients of capacity)라고 불립니다. 그리고 다른 경우, Cab는 정전기 유도 상수(coefficients of electrostatic induction)이라고 부릅니다. 필드가 다른 전하에 의해서 유도되거나 전하가 다른 필드에 의해서 유도되었기 때문입니다. 만약에 우리가 고려하는 시스템에 단 하나의 전도체가 있다면 

와 같이 적을 수 있고 C의 값은 커페시턴스라고 부릅니다. 

필드와 전하의 위치를 바꿔서 적으면 다음과 같이 또 적을 수 있습니다.

C^{-1}ab는 Cab의 역행렬입니다. 

먼저 전하량 또는 포텐셜이 아주 조금 변할 때 전도체의 에너지가 어떻게 변하는지 알아보도록 하겠습니다. 먼저 전기장의 에너지 표현으로부터 다음과 같이 적을 수 있습니다. 

다음과 같은 공식을 사용하여,

바꿔서 적으면,

이 됩니다. 따라서 다음의 결과를 얻을 수 있습니다. 

당연한 결과 같지만 이 식은 전하량 변화에 따른 에너지 변화량을 나타내는 공식입니다. 그리고 이 에너지 변화량은 필드가 phi_{a}로 주어진 상태에서 미소한 전하량을 무한한 거리로부터 전도체까지 가지고 오는데 주어져야하는 에너지에 해당합니다.

다른 방식으로 다음과 같이 적을 수도 있습니다.

마찬가지로 이것은,

 위의 공식은 전하가 고정되어 있을 때, 포텐셜이 변화하게 되면 얼만큼 전체적인 에너지가 변하는지 나타내는 공식입니다.  

위에서 찾은 두 공식으로 우리는 에너지를 포텐셜에 대해서 미분하면 전하를 얻고, 에너지를 전하에 대해서 미분하면 포텐셜을 얻을 수 있다는 사실을 알 수 있습니다.

또한 포텐셜과 전하를 연결해주는 Cab는 대칭행렬임을 알 수 있습니다. 즉 Cab = Cba. 왜냐하면

이고 순서를 반대로 해도 같은 결과를 얻기 때문입니다. 마찬가지로

입니다. 따라서 에너지는 다음과 같이 오직 포텐셜 또는 오직 전하량의 형태로 적을 수 있습니다. 

2. 전도체 정전기장의 에너지 1에서 살펴보았듯이 에너지는 전기장의 자승에 비례하므로 그 양이 항상 양수임을 알 수 있습니다. 이러한 사실을 통해서 Cab이 가질 수 있는 값들을 알 수 있습니다. 먼저 Caa는 항상 양수여야 됨을 알 수 있습니다. 또한 Cab(a와 b가 같지 않을 때)는 항상 음수여야 됨을 알 수 있습니다. 이러한 사실은 쉽게 보여지지 않는데, 다음과 같은 예제를 생각하면 쉽게 추론할 수 있습니다. 시스템에 두 개의 전도체가 있다고 합시다. 그 중 하나의 전도체는 접지에 연결되어 있어서 포텐셜이 0입니다. 만약 또 다른 전도체가 양의 전하로 대전되어 있다고 하면, 접지된 전도체에는 음의 전하들이 유도됨을 알 수 있습니다. 따라서 전도체 사이에서는 다른 부호의 전하가 유도되므로 Cab는 음의 값을 가지게 됩니다. 

요약
1. 포텐셜과 전하는 밀접한 관계가 있다.
2. 전도체의 에너지는 전하의 변화나 포텐셜의 변화에 의해서 변한다.

1. 전도체의 정전기학 - 2. 전도체 정전기장의 에너지 1

2. 전도체 정전기장의 에너지

대전된 전도체 정전기장의 총 에너지 U는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

적분은 전도체 밖의 모든 공간에 대해서 행해집니다. 위의 공식을 다음과 같이 다시 적어봅시다.

 우선 세개의 적분 중 마지막 적분은 0이 됩니다. 왜냐하면 전하가 없는 진공에서 전기장의 발산은 0이 되기 때문입니다. 두번째 적분은 발산정리에 의해서 면적분으로 바뀌게 됩니다. 그럼 두가지의 면이 생기되는데, 하나는 모든 공간을 감싸는 무한히 큰 면, 하나는 전도체의 표면입니다. 무한히 큰 면에 대한 적분은 0이 됩니다. 그 이유는 전기장은 대전된 전도체에서 충분히 멀어지면 빠르게 0으로 수렴하기 때문입니다. 따라서 남는건 전도체의 표면에 대한 적분 뿐입니다.

여기서 파이 a는 a번째 전도체 표면에서의 포텐셜이고, En은 전도체의 표면에서 전기장입니다. 물론 수직한 성분외에는 0이 되므로, 수직한 성분입니다.  

전도체의 전기장 2에서 살펴보았듯이

의 관계가 있으므로,  에너지는 다시 다음과 같이 적을 수 있습니다.

요약
1. 전도체의 에너지는 그 공식이 점전하의 에너지 형태와 유사하다.

1. 운동 방정식 - 4. 자유입자의 라그랑지안

4. 자유입자의 라그랑지안

그럼 자유롭게 운동하는 자유입자(free particle)의 라그랑지안 형태를 결정해보도록 하겠습니다. 여기서 자유롭게 운동한다는 뜻은 관성 좌표계에서 등속운동을 한다는 뜻입니다. 3. 갈릴레오의 상대성 원리에서 보았듯이, 자유입자의 라그랑지안은 v^2의 함수임을 알 수 있습니다. 

위와 같이 두 개의 관성 좌표계, K와 K'에 대해서 생각해보겠습니다. K는 K'에 대해서 속도 e로 움직이고 있다고 가정합시다. 따라서 K에서 속도 v로 움직이는 물체는 K'에서는 v+e로 보임을 알 수 있습니다. 따라서 K에서와 K'에서의 라그랑지안은 다음과 같은 관계가 있습니다. 

만약에 e가 충분히 작다면, e에 대해서 L'을 확장전개 할 수 있고, e에 선형적으로 비례하는 첫번째 항까지만 남겨두면,

2. 최소작용의 원리 2에서 살펴보았듯이 이 두 라그랑지안 L와 L'은 동일한 운동 방정식을 줘야되고, 동일한 방정식을 주기 위해서는 두 라그랑지안의 차이는 입자의 위치와 시간의 함수의 시간에 대한 전미분 함수임가 되어야 합니다. 이러한 조건을 만족시키기 위해서는 위의 식 오른쪽 두번째 항은 속도의 선형적으로 비례하는 함수여야 합니다. 따라서 

이 속도의 함수가 아니어야 됨을 알 수 있습니다. 따라서 라그랑지안은 v^2함수이고 v^2에 대하여 미분이 속도의 함수가 아니어야 되므로 다음과 같이 적을 수 있겠습니다.

이 라그랑지안의 형태가 갈릴레오의 변환에 대해서 불변인지 보도록 하겠습니다. 한 자유입자를 서로에 대해서 속도 V로 움직이는 두 관성 좌표계에 대해서 라그랑지안을 적어보면, 

조금 머리를 써서 바꿔 적으면,

두번째 항은 입자의 위치 r과 시간 t에 대한 함수이고 시간에 대한 전미분으로 나타낼 수 있으므로 L'와 L은 서로 같은 운동 방정식을 준다는 사실을 알 수 있습니다. 대문자 V 는 좌표계의 움직이지 운동하는 물체의 속도가 아닙니다. 

눈치를 채셨겠지만, 자유입자의 라그랑지안은 바로 물체의 운동에너지와 같습니다. 따라서 m은 그 물체의 질량입니다. 서로 상호작용하지 않는 입자의 라그랑지안을 모두 더하면 전체 시스템의 라그랑지안이 되므로 다음과 같이 적을 수 있습니다 (참고). 

여기서 중요한 사실은 이 라그랑지안에다가 어떠한 숫자를 곱해도 여전히 동일한 운동방정식을 준다는 사실입니다(참고).  따라서 절대값으로의 질량보다는 각 다른 질량들(m1, m2, m3..)의 상대적 비율(m1/m2, m2/m3..)이 오히려 물리적으로 더 중요하다는 사실을 알 수 있습니다. 

질량의 또 다른 특성으로, 질량은 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 작용 S

 

가 최솟값이 되는 지점이 실제로 관측되는 경로인데 (참조) m이 음수라면 시작점 1과 도착점 2를 잇는 수 많은 경로에 대해서 작용 값이 계속에서 작은 값을 가질 수 있으므로 최솟값이 존재하지 않게 됩니다.  

요약
자유입자의 라그랑지안은 운동에너지와 그 형태가 같다.
서로 다른 관성 좌표계는 동일한 운동 방정식을 가진다.