이번에는 라그랑지안이 공간에 대해서 등방성을 가지는 경우 어떠한 양이 보존되는지 살펴보겠습니다. 등방성(Isotropic)이란, 공간이 어떤 방향으로 돌려도 구별할 수 없는 경우를 말합니다. 만약에 동쪽과 서쪽을 구별할 수 있다면 이 공간은 이방성(Anisotropy)이라고합니다. 우리가 여기서 다룰 것은 동쪽과 서쪽, 즉 아무리 방향을 돌려봐도 구별이 안되는 공간에 놓여진 시스템에 대해서 살펴보겠습니다.
먼저 기억하셔야될 것은 라그랑지안은 위치와 속도의 함수라는 점입니다. 한 점 입자를 다음 그림과 같이 돌렸을 때, 라그랑지안이 얼만큼 변하는지를 살펴봐야 됩니다.
그럼 라그랑지안의 변화는 다음과 같이 적을 수 있습니다. 등방성에 의해서 이 라그랑지안의 변화량은 0이어야 합니다.
0. 
위의 그림과 기하학를 조금 이용하면 다음과 같이 적을 수 있습니다.
1.
양변을 시간에 대해서 미분을 하게 되면
2. 
그리고
3. 
1,2,3 번식들을 0번에 각각 넣으면 다음과 같은 방정식을 얻게 됩니다.
4.
벡터의 다음과 같은 관계
5.
를 이용해서 4번 식을 다시 적으면
6.
델타 파이를 공통인자로 끌어내고 시간에 대한 미분으로 벡터 외적항을 적으면,
7.
따라서 L로 정의되는 괄호내부의 항이 시간에 대해서 변하지 않으므로 보존된다는 양임을 알 수 있습니다.
8. 
바로 이 보존 양을 우리는 각운동량 (Angular momentum)이라고 부르고, 이 양은 라그랑지안이 공간의 방향에 의존하지 않는 다는 사실로 유도된 결과입니다. 일반 운동량과의 공통점은 입자가 여러개로 구성된 시스템의 총 각운동량은 각 입자의 각운동량의 합과 같다는 점과, 각운동량의 x 성분, y 성분, 그리고 z 성분이 각각 따로 보존 될 수 있습니다.
다른 점은 각운동량의 경우는 좌표를 어떻게 잡느냐에 따라서 그 성분이 변합니다. 반면 운동량은 좌표를 어떻게 잡던 그 값이 동일하죠. 그리고 반전 대칭성 (Inversion symmetry)에 대해서 약간 다른 행동을 보입니다. 여기서 반전 대칭성이란, x, y, z -> -x, -y, -z로 뒤집는 것을 의미합니다. 우선 운동량의 경우는 반전 대칭성에 대해서 그 부호를 바꾼다는 것을 알 수 있습니다. 이를테면, +x로 움직이던 입자가 반전대칭성을 취하면 -x방향으로 움직이는 것처럼 보입니다. 이렇게 반전대칭성에 대해서 부호를 바꾸는 벡터를 Polar vector라고 합니다. 그렇지만 각운동량의 경우는 이야기가 달라집니다. r과 p가 모두 뒤집어지므로 두 개의 곱으로 이루어진 각운동량은 반전 대칭성에 대해서 부호가 안바뀐다는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 반전대칭성에 대해서 부호를 바꾸지 않는 벡터를 Axial vector라고 합니다.
요약
1. 각운동량의 보존은 공간의 등방성의 결과이다.
2. 비록 운동량벡터와 각운동량벡터는 둘 다 벡터이지만, 공통점도 존재하고 차이점도 존재하는 조금 다른 벡터이다.
